09、数据结构与算法 - 实战：学习递归。递归的经典实例：打印问题、阶乘问题、递归-迷宫问题、八皇后问题
前言
- 先说一下递归算法的重要性，后面的快速排序、归并排序都会用到递归。可见其重要性
- 这里学的时候，自我感觉有点难，逻辑有点混乱，可以先学习一遍，然后到了后面用到的时候，再来学习一遍。
一、递归
2.1 递归简单介绍
简单的说:
递归就是方法自己调用自己，每次调用时传入不同的变量。
递归有助于编程者解决复杂的问题,同时可以让代码变得简洁。
2.2 重要规则
1、 执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)；
2、 方法的局部变量是独立的，不会相互影响,比如n变量；
3、 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)，就会共享该引用类型的数据.；
4、 递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归,出现StackOverflowError，死龟了；
5、 当一个方法执行完毕，或者遇到return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕；
2.3 递归形式
递归就是函数调用自己本身，但是要加上 必须的条件，以免变成 死龟
形式如下
public void func(int n){
if(condition){
}
func(n-1);
}
2.4 递归能解决的问题
1、 各种数学问题如:8皇后问题,汉诺塔,阶乘问题,迷宫问题,球和篮子的问题(google编程大赛)；
2、 各种算法中也会使用到递归，比如**快排，归并排序，二分查找，分治算法**等.；
3、 将用栈解决的问题–>第归代码比较简洁；
二、打印问题
2.1 介绍
通过打印来了解递归
2.2 代码
/**
* 打印问题.
* 当 n 为 4时 输出的顺序：n=2 n=3 n=4
* @param n
*/
public static void test01(int n) {
if (n > 2) {
test01(n - 1); // 如果为 + 时，会成为 栈溢出，报错：java.lang.StackOverflowError
}
System.out.println("n=" + n);
}
2.3 代码测试
当传入4 时，打印的顺序时是：
2.4 思路分析和图解
可以看出 每一次调用都要先走进入，走到最后，在一步步走出来，进行打印。
三、阶乘问题
3.1 介绍
用递归实现阶乘问题，如 4！= 432*1
3.2 代码实现
/**
* 阶乘问题
*
* @param n
* @return
*/
public static int factorial(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else {
return n*factorial(n - 1); //n=3时， f(3) = 3*f(2)=3*2*f(1)= 3*2*1, 依次类推
}
}
3.3 测试与分析
当传入4 时，factorial（4） = 4factorial(3)
factorial(3) = 3factorial(2)
factorial(2) = 2factorial(1)
factorial(1) = 1
所以最终就为 factorial（4）= 4321=24.
四、递归-迷宫问题
4.1 问题介绍
上图看介绍：初始化二维数组为地图，map[8][7]，1代表红色的墙。小球初始位置map[1][1] ，找到最终位置map[6][5]。
4.2 代码实现
package com.feng.ch08_recursion;
/*
* 递归解决迷宫问题
* 从 map[1][1] 找到 map[6][5]
* 开始时，只有递归，没有回溯，
* 查看回溯请求：
* 1、map[1][2] = 1;map[2][2] = 1; ，在运行就看到了回溯，都设置为了 3
* */
public class R2_MiGong {
public static void main(String[] args) {
// 先创建一个二维数组，模拟迷宫
// 地图
int[][] map = new int[8][7];
// 使用 1 表示墙
// 上下全部置为1
for (int i = 0; i < 7; i++) {
map[0][i] = 1;
map[7][i] = 1;
}
// 左右置为 2
for (int i = 0; i < 8; i++) {
map[i][0] = 1;
map[i][6] = 1;
}
// 设置挡板 ，用 1 表示
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
// map[1][2] = 1;
// map[2][2] = 1;
// 输出 初始化的地图
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
for (int j = 0; j < map[i].length; j++) {
System.out.printf("%d\t", map[i][j]);
}
System.out.println();
}
// 使用 递归回溯 给小球找路
setWay(map, 1, 1);
// 输出 递归后的地图
System.out.println();
for (int i = 0; i < map.length; i++) {
for (int j = 0; j < map[i].length; j++) {
System.out.printf("%d\t", map[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
// 使用 递归回溯 来给小球找路
/*
*
* 说明：
* 1、map表示地图
* 2、i, j 表示从地图的哪个位置开始出发 ，（1 ， 1）；
* 3、如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路 找到。
* 4、约定： 当 map[i][j] 为0 表示该点没有走过； 当为 1 表示墙；2 表示通路可以走； 3 表示该点已经走过。但是走不通
* 5、在走迷宫时，需要确定一个策略（方法） 下-》右-》上-》左 ，
* 如果该点走不通，再 回溯
*
* @param map 表示地图
* @param i 从哪个位置开始找
* @param j
* @return 如果找到通路，就返回true， 否则返回false
* */
public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
if (map[6][5] == 2) {
// 递归的条件
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) {
// 如果当前这个点还没走过
// 按照策略 下-》右-》上-》左 走
map[i][j] = 2; // 假定改变是可以走通的
if (setWay(map, i + 1, j)) {
// 向下走
System.out.println("走过i=" + (i + 1) + ", j=" + j);
return true;
} else if (setWay(map, i, j + 1)) {
// 向右走
System.out.println("走过i=" + i + ", j=" + (j + 1));
return true;
} else if (setWay(map, i - 1, j)) {
// 向上走
System.out.println("走过i=" + (i - 1) + ", j=" + j);
return true;
} else if (setWay(map, i, j - 1)) {
// 向左走
System.out.println("走过i=" + i + ", j=" + (j - 1));
return true;
} else {
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else {
// 如果 map[i][j] !=0, 可能是 1， 2， 3
return false;
}
}
}
}
4.2 测试结果
五、八皇后问题
5.1 问题介绍
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
5.2 思路分析
1、 第一个皇后先放第一行第一列；
2、 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否OK，如果不OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适；
3、 继续第三个皇后，还是第一列、第二列……直到第8个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解；
4、 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到.；
5、 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行1,2,3,4的步骤【示意图】；
说明：
理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题. arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //对应arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，arr[i] = val , val 表示第i+1个皇后，放在第i+1行的第val+1列
5.3 代码实现
package com.feng.ch08_recursion;
public class R3_Queue8 {
// 定义 一个max 表示共有多少个黄后
int max = 8;
// 定义数组 array ，保存皇后放置位置的结果，比如 arr = {0 ,4 ,7, 5, 2, 6, 1, 3}
int[] array = new int[max];
static int count = 0;
static int judgeCount = 0;
public static void main(String[] args) {
R3_Queue8 queue8 = new R3_Queue8();
queue8.check(0);
System.out.printf("一共有%d种解法\n", count);
System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount); // 1.5w
}
/*
* 编写一个方法， 放置第 n 个皇后
* 特别注意： check 是每一次 递归时，进入到 check中都有 for (int i = 0; i<max; i++) , 因此 会有回溯
* */
public void check(int n) {
if(n == max) {
//n = 8 , 其实8个皇后就既然放好
print();
return;
}
// 依次放入皇后，并判断是否冲突
for(int i = 0; i < max; i++) {
// 先把当前这个皇后 n ，放到改行的第 1 列
array[n] = i;
// 判断当放置 第 n 个皇后到 i 列，是否冲突
if (judge(n)) {
// 接着放 n+1 个皇后，即开始递归
check(n + 1);
}
/*
* 如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第 n 个皇后，放置在本行的 后移的一个位置
* */
}
}
// 查看当我们放置第 n 个皇后，就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
/*
* Math.abs() : 求绝对值的方法
*
* @param n 表示第 n 个皇后
* @return
* */
private boolean judge(int n) {
judgeCount++;
for (int i = 0; i < n; i++) {
/*
* 说明：
* 1、array[i] == array[n] ： 表示判断 第 n 个皇后是否和前面的 n-1 个皇后在同一列
* 2、Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i]) ：
* */
if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
// 如果为 true，则为同一列
return false;
}
}
return true;
}
// 写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出
private void print() {
count++;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
System.out.print(array[i] + " ");
}
System.out.println();
}
}
5.4 测试结果
